Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen

Bachelorarbeit aus dem Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Universität Hildesheim (Stiftung) (Institut für Mathematik und Angewandte Informatik), Sprache: Deutsch, Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Potenzreihen. Dabei wird auf die Grundlagen eingegangen, sowie die Thematisierung der Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Potenzreihen. Wir wollen klarstellen, aufbauend auf den illustrierten Grundlagen, wie Potenzreihen differenzierbar und integrierbar sind.
Im Hauptteil der Arbeit wird es ein Kapitel zu Potenzreihen geben, bei der wir uns die Definition und ein geeignetes Beispiel ansehen. Demnach werden wir uns zwei Standardverfahren zur Bestimmung der Konvergenz/Divergenz einer Reihe, ansehen. Die beiden Verfahren, die wir betrachten, heißen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium. Natürlich werden wir die beiden Verfahren differenziert betrachten, indem wir den jeweiligen Beweis tiefgründig untersuchen und anhand eines geeigneten Beispiels illustrieren. Außerdem werden wir das Quotientenkriterium auf Potenzreihen aufstellen. Dabei werden wir ebenfalls den Beweis ausführlich darstellen und ein Beispiel heranziehen.
Im nächsten Abschnitt des Hauptteils wird es um die Differenzierbarkeit von Potenzreihen gehen. Dabei werden wir auf die punktweise und gleichmäßige Konvergenz eingehen. Die nötigen Sätze und Beweise werden wir natürlich angeben und anhand von Beispielen darstellen. Die Beispiele dienen an der Stelle für das Verständnis und soll die wesentliche Intention der Differenzierbarkeit von Potenzreihen klarstellen. Zum Ende des Kapitelabschnitts soll deutlich gemacht werden, wie Potenzreihen differenzierbar sind.
Nachdem wir uns mit der Differenzierbarkeit von Potenzreihen beschäftigt haben, widmen wir uns der Integrierbarkeit von Potenzreihen. An der Stelle möchten wir ebenfalls die nötigen Sätze und Beweise darstellen. In dem Abschnitt zur Integration von Potenzreihen möchten wir reichliche Beispiele illustrieren, wie z. B. arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1 + x) und log(1+x)/1+x. Hierbei soll ebenfalls deutlich gemacht werden, wie man Potenzreihen integriert.
In dem vorherigen Kapitel haben wir Zahlen im Reellen betrachtet. Deshalb wollen wir zum Schluss einen allgemeinen Ausblick der Potenzreihen und deren Differentiation und Integration in den komplexen Zahlen betrachten.