Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen

Aus der Arithmetik der binären quadratischen Formen, die Gauß in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen, die Lehre von den quadra­ tischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und die .-\rithmetik der algebraischen Zahlkörper und weiter die der hyper­ komplexen Systeme auf der anderen. Noch im Jahre 1898, als P. Bachmann seine groß angelegte "Arithmetik der quadratischen Formen" (I. Abt. Leipzig 1898, II. Abt. Leipzig 192:1) schrieb, hielten sich beide im Umfang und in der Wertschätzung der Mathematiker die Waage. In den nachfolgenden Jahren änderten sich die Verhält­ nisse grundlegend; die letztgenannte Disziplin nahm deutlich die Vor­ rangstellung ein. Die Ursache hierfür war die Tatsache, daß es gelang, die gesamte Forschung auf dem Gebiet der Zahlkörper und Algebren im Grunde einer einzigen zentralen Aufgabe zu unterstellen: dem Auf­ bau dieser Gebilde aus elementaren Bausteinen. Es unterliegt keinem Zweifel, daß eine so geartete Problemstellung der Frage nach dem Sinn und ·wesen des Zahlbegriffs näher kommt als die Gewinnung spezieller Einzelresultate. Erst die Arbeiten von H. Hasse, E. Hecke und C. L. Siegel in den letzten Jahrzehnten haben auch auf dem Gebiet der quadra­ tischen Formen einer ähnlichen Wendung zum Grundsätzlichen hin zum Durchbruch verholfen, die sich hier nur langsam vorbereitet hatte. Die Primzahlen erweisen sich heute hier wie bei den Zahlkörpern als der Schlüssel zum Verständnis der ganzen Theorie. Es ist das Ziel des vor­ liegenden Buches, einen weiteren Leserkreis mit diesen neuen Gedanken vertraut zu machen.