La fonction Gamma

"On peut définir la fonction gamma, soit, d-après les procédés de l-an- cienne Analyse, au moyen d-une expression déterminée, soit, confor- mément aux idées modernes sur la théorie des fonctions, en partant de certaines équations fonctionnelles. Si l-on fait abstraction de cette der- nière méthode qui n-a donné naissance qüà de rares travaux(1), très importants d-ailleurs, on se trouve en présence de deux définitions, dues l-une et l-autre à Euler. La première, fondée sur la considération de la limite d-un produit, a été préconisée par Gauss (2) et Liouville (3). La seconde, où -(x) est l-expression d-une intégrale définie, a été adoptée successivement par Euler, Legendre et presque tous les analystes. On doit chercher, sans doute, la raison de cette préférence exclusive dans les nombreux rapports qui relient l-étude de -(x) à celle des intégrales définies. Cependant la définition choisie par Gauss, non seulement pos- sède l-avantage d-une plus grande généralité, puisque la variable n-y est astreinte qüà la seule condition restrictive de ne pas être égale à un entier négatif, mais encore elle révèle immédiatement la nature même de cette transcendante et permet d-établir toutes ses propriétés d-une manière plus concise, plus rigoureuse et aussi plus naturelle ; au lieu de reposer sur une suite d-artifices, parfois compliqués, les démonstrations se développent avec une remarquable uniformité." (...)