Das LIBOR-Market-Modell unter Berücksichtigung stochastischer Volatilitäten

Masterarbeit aus dem Jahr 2018 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0, Technische Hochschule Mittelhessen, Sprache: Deutsch, Abstract: Diese Arbeit befasst sich mit dem SABR-LIBOR-Market-Modell (SABR-LMM). Das SABR-LMM ist ein Zinsstrukturmodell zur Modellierung von Forward-Raten (oder Swap-Raten) und gilt als die natürliche Erweiterung des SABR- und des klassischen LIBOR oder Swap-Market-Modells. Wir wollen mit Hilfe dieses Modells die Preise von Caps, Floors und Swaptions (also von Standardinstrumenten eines Zinsmarktes) aller Laufzeiten und Strikes, das heißt für das gesamte Volatilitätsoberfläche (Surface), mittels eines einzigen Kalibrierungsvorgangs replizieren. Beide Modelle konnten sich bereits alleinstehend in der Praxis als Marktstandard in ihrem jeweiligen Anwendungsbereich etablieren. Das SABR-Modell wird für Standardinstrumente (Plain Vanilla) verwendet, während das LMM bei komplexeren Strukturen zum Einsatz kommt.
Ziel dieser Arbeit ist die vollständige theoretische Definition, Implementation sowie Kalibrierung des SABR-LMMs. Darüber hinaus soll gezeigt werden, wie dieses Modell zur Bewertung von Plain Vanilla-Zinsderivaten herangezogen wird, welche als Grundlage für die Bewertung und das Hedging von komplexeren Instrumenten dienen. Die Kalibrierung umfasst dabei insbesondere den Volatilitäts- und Korrelationsprozess. Vor allem letzteres ist kein triviales Unterfangen, da die für die Kalibrierung verwendeten Daten nur wenig bis gar keine Informationen über die in der Modellierung benötigten instantanen Korrelationen beinhalten. Die für die Kalibrierung und Anwendung des Modells benötigten Daten sind die Zinsstrukturkurve, die impliziten Cap-Volatilitäten sowie die impliziten Swaption-Volatilitäten am jeweiligen Bewertungsstichtag.