Fit fürs Studium - Mathematik

Nachhilfe in Mathematik: So gehen Sie gut vorbereitet in die Mathe-Vorlesung MINT-Studiengänge sind beliebt, die Abschlüsse gefragter denn je - und die Anforderungen hoch. Mathematik ist dabei unverzichtbar und wird mitunter in hohem Tempo vermittelt. Damit Sie den Anschluss nicht verlieren, gibt es jetzt dieses Buch: Sie knüpfen an Ihr Schulwissen an, lernen in kleinen Einheiten und kommen in den Genuss vieler anschaulicher Beispiele. Außerdem lernen Sie, mit der frei verfügbaren Mathematik-Software SageMath zu arbeiten. Uwe Post, Fachbuch- und Science-Fiction-Autor, sorgt sogar dafür, dass Sie dabei auch Spaß haben. Selbsttests zu Grundlagenthemen wie Algebra, Arithmetik oder Geometrie helfen Ihnen, genau dort einzusteigen, wo es für Sie passt. Was Sie schon beherrschen, überspringen Sie einfach. Gönnen Sie sich die Vorlaufzeit und gehen Sie gut vorbereitet an den Start! Für alle Studiengänge mit mathematischen Methoden. Ideal zum Selbststudium.- Grundlagen verstehen und Wissenslücken schließen- Viele Beispiele und Aufgaben mit Lösungen in drei Schwierigkeitsgraden- Für alle MINT-Studiengänge geeignet Aus dem Inhalt:- Mathematische Grundlagen mit Tests zur Selbsteinschätzung- Logarithmen und Wurzeln- Sinus und Co. gründlich beleuchtet- Folgen, Reihen und Grenzwerte- Stetigkeit und Monotonie- Ableitungen und Integrale- Komplexe Zahlen- Wahrscheinlichkeiten und Statistik- Bool'sche Algebra, Aussagenlogik und Digitale- Beweistechniken- Kurvendiskussion- Mantelflächen und Rotationskörper integrieren- Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung- Polar- und Kugelkoordinaten- Differentialrechnung in mehreren Dimensionen- Vektoren, Vektorräume und Matrizen- Analytische Geometrie- Einführung in numerische Verfahren- Arbeiten mit Mathematik-Software

Uwe Post hat ein Diplom in Physik und Astronomie und entwickelt Smartphone-Apps und -Spiele. Er schreibt Fachartikel in Computerzeitschriften, allerdings deutlich mehr Science-Fiction-Geschichten. Sein Roman »Walpar Tonnraffir und der Zeigefinger Gottes« gewann 2011 den Kurd-Laßwitz-Preis und den Deutschen Science-Fiction-Preis. Wenn er nicht gerade neue Android- und Computerspiele oder Bücher schreibt, ist er anderweitig hyperaktiv.

Einleitung ... 21 TEIL I. Grundlagen ... 23 1. Mengenweise Mengen ... 24 1.1 ... Testen Sie sich selbst ... 25 1.2 ... Mengen und Elemente ... 25 1.3 ... Entspannungsübungen ... 30 1.4 ... Lösungen ... 30 2. Gesetze der Algebra ... 32 2.1 ... Testen Sie sich selbst ... 33 2.2 ... Gesetze, die jeder kennt ... 34 2.3 ... Brüche, gemischt und dezimal ... 40 2.4 ... Potenzen und Wurzeln ... 47 2.5 ... Entspannungsübungen ... 51 2.6 ... Lösungen ... 52 3. (Un-)gleichungen ... 56 3.1 ... Testen Sie sich selbst ... 57 3.2 ... Einfache Gleichungen und Ungleichungen ... 58 3.3 ... Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen ... 61 3.4 ... Gleichungssysteme ... 65 3.5 ... Sachaufgaben ... 68 3.6 ... Gleichungen lösen mit dem PC ... 71 3.7 ... Entspannungsübungen ... 76 3.8 ... Lösungen ... 77 4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ... 86 4.1 ... Testen Sie sich selbst ... 87 4.2 ... Das Achsenkreuz ... 87 4.3 ... Lineare Funktionen ... 89 4.4 ... Parabeln ... 92 4.5 ... Wurzel- und andere Funktionen ... 98 4.6 ... Entspannungsübungen ... 101 4.7 ... Lösungen ... 102 5. e und log ... 110 5.1 ... Testen Sie sich selbst! ... 111 5.2 ... Mehr, mehr, mehr! ... 111 5.3 ... Logarithmen und ihre Regeln ... 117 5.4 ... Entspannungsübungen ... 121 5.5 ... Lösungen ... 122 6. Sinus und Cosinus ... 128 6.1 ... Testen Sie sich selbst ... 129 6.2 ... Rechtwinklige Dreiecke ... 130 6.3 ... Der Einheitskreis ... 134 6.4 ... Entspannungsübungen ... 143 6.5 ... Lösungen ... 144 7. Wo ist meine Einheit? ... 148 7.1 ... Testen Sie sich selbst ... 149 7.2 ... Hoch, weit, schwer ... 149 7.3 ... Von piko bis Tera ... 153 7.4 ... Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen ... 155 7.5 ... Runden, aber sinnvoll ... 156 7.6 ... Entspannungsübungen ... 159 7.7 ... Lösungen ... 160 8. Flächen und Räume ... 164 8.1 ... Testen Sie sich selbst ... 165 8.2 ... Flächeninhalt und Umfang ... 165 8.3 ... Volumen und Oberfläche ... 169 8.4 ... Entspannungsübungen ... 173 8.5 ... Lösungen ... 174 9. Vielleicht sechs Richtige ... 178 9.1 ... Testen Sie sich selbst ... 179 9.2 ... Statistik ... 179 9.3 ... Wahrscheinlichkeit ... 188 9.4 ... Entspannungsübungen ... 195 9.5 ... Lösungen ... 195 10. Herrn Booles Algebra ... 198 10.1 ... Testen Sie sich selbst ... 199 10.2 ... Aussagenlogik ... 199 10.3 ... Wie Computer rechnen ... 202 10.4 ... Entspannungsübungen ... 206 10.5 ... Lösungen ... 206 11. Was zu beweisen ist ... 208 11.1 ... Mathematische Beweise ... 209 11.2 ... Vollständige Induktion ... 209 11.3 ... Indirekter Beweis ... 211 11.4 ... Entspannungsübung ... 215 11.5 ... Lösungen ... 215 TEIL II. Analysis ... 219 12. Folgen und Grenzwerte ... 220 12.1 ... Zahlenfolgen ... 221 12.2 ... Grenzwerte und Konvergenz ... 224 12.3 ... Entspannungsübungen ... 227 12.4 ... Lösungen ... 227 13. Reihen ... 230 13.1 ... Unendliche Summen ... 231 13.2 ... Besondere Reihen ... 233 13.3 ... Entspannungsübungen ... 237 13.4 ... Lösungen ... 237 14. Stetigkeit und Monotonie ... 238 14.1 ... Grenzwerte von Funktionen ... 239 14.2 ... Stetige Funktionen ... 246 14.3 ... Entspannungsübungen ... 250 14.4 ... Lösungen ... 250 15. Funktionen ableiten ... 254 15.1 ... Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! ... 255 15.2 ... Die Steigung der Tangenten ... 258 15.3 ... Ableitungsregeln ... 262 15.4 ... Entspannungsübungen ... 269 15.5 ... Lösungen ... 270 16. Noch mehr Funktionen ableiten ... 274 16.1 ... Exponentialfunktion ableiten ... 275 16.2 ... Trigonometrische Funktionen ... 279 16.3 ... Entspannungsübungen ... 283 16.4 ... Lösungen ... 283 17. Eigenschaften von Funktionen ... 286 17.1 ... Funktionengeometrie ... 287 17.2 ... Königsdisziplin Kurvendiskussion ... 298 17.3 ... Funktionen à la carte ... 302 17.4 ... Entspannungsübungen ... 309 17.5 ... Lösungen ... 309 18. Integralrechnung ... 316 18.1 ... Das riemannsche Integral ... 317 18.2 ... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ... 320 18.3 ... Anwendungen der Integration ... 334 18.4 ... Entspannungsübungen ... 339 18.5 ... Lösungen ... 340 19. Die Bewegungsgleichung ... 344 19.1 ... Kraft und Beschleunigung ... 345 19.2 ... Die zweite Dimension ... 349 19.3 ... Entspannungsübungen ... 355 19.4 ... Lösungen ... 355 20. Die Differentialgleichung erster Ordnung ... 358 20.1 ... Wo Differentialgleichungen vorkommen ... 359 20.2 ... Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen ... 362 20.3 ... Entspannungsübungen ... 370 20.4 ... Lösungen ... 370 21. Das Pünktchen auf dem i ... 372 21.1 ... Die komplexen Zahlen ... 373 21.2 ... Die komplexe Zahlenebene ... 377 21.3 ... Die eulersche Formel ... 382 21.4 ... Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen ... 384 21.5 ... Entspannungsübungen ... 386 21.6 ... Lösungen ... 387 22. Hin und wieder zurück ... 388 22.1 ... Der harmonische Oszillator ... 389 22.2 ... Differentialgleichung zweiter Ordnung ... 392 22.3 ... Entspannungsübungen ... 400 22.4 ... Lösungen ... 400 23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren ... 404 23.1 ... Kurvenlängen integrieren ... 405 23.2 ... Mantelflächenintegrale ... 408 23.3 ... Entspannungsübungen ... 411 23.4 ... Lösungen ... 411 24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme ... 414 24.1 ... Polarkoordinaten ... 415 24.2 ... Dreidimensionale Koordinatensysteme ... 420 24.3 ... Entspannungsübungen ... 424 24.4 ... Lösungen ... 424 TEIL III. Lineare Algebra ... 427 25. Vektorrechnung ... 428 25.1 ... Vektoren in der euklidischen Ebene ... 429 25.2 ... Die Basis ... 434 25.3 ... Entspannungsübungen ... 439 25.4 ... Lösungen ... 440 26. Lineare Gleichungssysteme ... 444 26.1 ... Das Gauß-Verfahren ... 445 26.2 ... Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... 448 26.3 ... Entspannungsübungen ... 455 26.4 ... Lösungen ... 455 27. Willkommen in der Matrix ... 458 27.1 ... Lineare Abbildungen ... 459 27.2 ... Verknüpfung linearer Abbildungen ... 462 27.3 ... Entspannungsübungen ... 470 27.4 ... Lösungen ... 470 28. Eigenwerte, Determinanten und Co. ... 472 28.1 ... Matrizen unter der Lupe ... 473 28.2 ... Eigenwerte ... 476 28.3 ... Produkte ... 482 28.4 ... Entspannungsübungen ... 487 28.5 ... Lösungen ... 488 29. Besondere Matrizen anwenden ... 492 29.1 ... Geometrische Transformationen ... 493 29.2 ... Bildbearbeitung ... 498 29.3 ... Entspannungsübungen ... 501 29.4 ... Lösungen ... 501 30. Mehrdimensionale Analysis ... 504 30.1 ... Abbildungen in mehr als einer Dimension ... 505 30.2 ... Differentialrechnung in R^n ... 508 30.3 ... Entspannungsübungen ... 515 30.4 ... Lösungen ... 515 31. Numerische Verfahren ... 518 31.1 ... Intervallschachtelung ... 519 31.2 ... Interpolation ... 522 31.3 ... Ausgleichsrechnung ... 526 31.4 ... Numerische Integration ... 528 31.5 ... Entspannungsübungen ... 532 31.6 ... Lösungen ... 533 32. Analytische Geometrie ... 536 32.1 ... Ein Universum voller Vektoren ... 537 32.2 ... Begegnungen im Nichts ... 550 32.3 ... Entspannungsübungen ... 560 32.4 ... Lösungen ... 561 Anhang ... 566 Index ... 571