Mathematik für Informatiker 2

Hiermit legen wir den abschließenden Band unserer "Mathematik für Informati­ ker" vor. Auch hier haben wir uns bemüht - soweit dies bei dem diesmal anspruchs­ volleren Stoff möglich ist - den algorithmischen und konstruktiven Aspekt in den Vordergrund zu stellen. Die Stoffauswahl wurde u. a. dadurch bestimmt, daß auch auf die Bedürfnisse der Informatiker mit technischen Nebenfächern eingegangen wurde - so ist ein ausführliches Kapitel über Funktionen mehrerer Veränderlicher entstanden, welches für den "Nurinformatiker" erst in zweiter Linie interessant ist. Zum Inhalt: In Kapitel VII werden numerische Fragen aus der Linearen Algebra und der Analysis behandelt. Nach einer Einführung in die Gleitpunktarithmetik - die nur bei der numerischen Behandlung von linearen Gleichungssystemen in Kapitel VII, §2 und der Fehlerabschätzung bei der Berechnung von Eigenwerten von Tridiagonalmatrizen in Kapitel VIII, §5 benötigt wird - werden in §2 Feh­ lerabschätzungen für die Lösung von linearen Gleichungssystemen bei Spaltenpivot­ suche und Totalpivotsuche hergeleitet. Unitäre und orthogonale Matrizen werden in §3 eingeführt; neben dem numerisch ungünstigen Orthogonalisierungsverfahren nach E. Schmidt wird in §4 die QR-Zerlegung einer Matrix nach Householder be­ handelt, und es wird auf die Anwendung dieser Zerlegung beim Lösen linearer Gleichungssysteme hingewiesen. Weitere Methoden zur Lösung von linearen Glei­ chungssystemen werden in Kapitel IX, §3 behandelt, nämlich das Gesamtschrittver­ fahren [ J acobi-Verfahren] und das Einzelschrittverfahren [ Gauß-Seidel-Verfahren]. Zum Verständnis der ersten 4 Paragraphen von Kapitel VII reichen die Kenntnisse aus Kapitel II aus.

VII Numerik.- §1 Gleitpunktrechnung.- §2 Fehlerabschätzung bei linearen Gleichungssystemen.- §3 Unitäre und orthogonale Matrizen.- §4 Das Verfahren von Householder.- §5 Interpolation.- §6 Die Eulersche Summenformel.- §7 Numerische Integrationsverfahren.- VIII Eigenwerte.- §1 Eigenwerte und Eigenvektoren.- §2 Berechnung des charakteristischen Polynoms.- §3 Die Jordansche Normalform.- §4 Hermitesche Matrizen.- §5 Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- IX Funktionen mehrerer Veränderlicher.- §1 Folgen von Matrizen.- §2 Stetige Abbildungen.- §3 Fixpunktsatz und Anwendungen.- §4 Differenzierbare Abbildungen.- §5 Umkehrabbildungen und implizite Funktionen.- §6 Differentialgleichungen.- §7 Lineare Differentialgleichungen.- §8 Lineare Differenzengleichungen.- X Lineare Optimierung.- §1 Vorbereitungen.- §2 Ein Simplex-Algorithmus.- XI Stochastik.- §1 Summierbare Abbildungen.- §2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume.- §3 Zufällige Veränderliche.- §4 Die Ungleichung von Tschebyscheff.- §5 Der chi-Quadrat-Test.- §6 Zufallszahlen.- §7 Erzeugung von Zufallszahlen.- XII Vektorräume und lineare Abbildungen.- §1 Vektorräume.- §2 Lineare Abbildungen.- XIII Algebra.- §1 Monoide und Gruppen.- §2 Endliche abelsche Gruppen.- §3 Ringe und Körper.- §4 Faktorielle Monoide und Ringe.- §5 Polynomringe in mehreren Unbestimmten.- §6 Symmetrische Polynome.- §7 Resultante und Diskriminante.- XIV Zahlentheorie.- §1 Die Restklassenringe von ?.- §2 Primzahlen.- §3 Primzerlegungen.- XV Primzerlegung von Polynomen.- §1 Körpererweiterungen.- §2 Endliche Körper.- §3 Primzerlegung von Polynomen über endlichen Körpern.- §4 Primzerlegung von Polynomen über ?.- XVI Boolesche Algebren.- §1 Verbände.- §2 Boolesche Algebren.- Namen- undSachverzeichnis.