Mehrdimensionale ENO-Verfahren

All we need is to recover. - K. W. MORToN [103] Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen beschreiben fundamenta­ le Prinzipien in der uns umgebenden Natur und bilden die Basis ganzer Wissenschaftszweige. Die Euler-Gleichungen der Gasdynamik sind ein pro­ minentes Beispiel dieser Klasse und nach über 200 Jahren ihres Bekanntwer­ dens durch Euler ist die Frage nach der Existenz von Lösungen noch offen. Da die numerische Behandlung grundlegend ist für die Numerik der Navier­ Stokessehen Gleichungen, die die reibungsbehaftete kompressible Strömung von Fluiden (inklusive der Turbulenz) beschreiben, kommt der Entwicklung und Analysis numerischer Methoden seit einigen Jahrzehnten eine besondere Rolle zu. Im vorliegenden Buch wird eine moderne Klasse von Algorithmen - die wesentlich nichtoszillatorischen (ENO) Diskretisierungen - auf unstruktu­ rierten Gittern untersucht. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem al­ gorithmisch aufwendigsten Schritt, der über die Qualität einer solchen Me­ thode entscheidet. Es handelt sich dabei um die lokale Rekonstruktion einer Approximation an die Lösung aus gegebenen Zellmitteln. Wir verfolgen die Theorie der Optimalen Rekonstruktion und entwickeln neue Rekonstrukti­ onsalgorithmen unter Verwendung radialer Basisfunktionen, die als Splines in Semi-Hilbert-Räumen gewisse Optimalitätseigenschaften aufweisen.

1 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen.- 1.1 Schwache Lösungen.- 1.2 Spezielle Systeme.- 1.3 Die Bewegungsgleichungen kompressibler Fluide.- 2 Finite-Volumen-Verfahren.- 2.1 Triangulierungen.- 2.2 Evolutionsgleichungen und der Zellmittelungsoperator.- 2.3 Finite-Volumen-Ansätze.- 2.4 Bemerkungen zum Diskretisierungsfehler.- 2.5 Bemerkungen zu Zeitschrittverfahren.- 3 Polynomiale Rekonstruktionen.- 3.1 Das Rekonstruktionspolynom.- 3.2 TVD- und ENO-Verfahren.- 3.3 Rekonstruktion mit linearen und quadratischen Polynomen.- 3.4 Finite-Volumen-Verfahren für kompressible Strömungen.- 3.5 Der DLR-?-Code.- 3.6 Polynomiale ENO-Rekonstruktionen für Boxmethoden.- 4 Optimale Rekonstruktion.- 4.1 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Michelli und Rivlin.- 4.2 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Golomb und Weinberger.- 4.3 Die Interpretation der polynomialen Rekonstruktion.- 4.4 Splines.- 5 Globale radiale Funktionen.- 5.1 Optimale Rekonstruktion in Beppo-Levi-Räumen.- 6 Bedingt positiv A-definite Funktionen.- 6.1 Radiale Rekonstruktionen.- 6.2 Der Zugang nach Madych und Nelson.- 6.3 Die Charakterisierung der Räume C?.- 6.4 Die Optimalität radialer Rekonstruktionen.- 6.5 Numerische Ergebnisse mit dem Gaußschen Spline.- 6.6 Wu-Schaback-Optimalität.- 6.7 Die Äquivalenz der Optimalitätsbegriffe.- 7 Lokale radiale Funktionen.- 7.1 Der Euklidische Hut.- 7.2 Wu-Funktionen.- Literatur.- Symbolverzeichnis.