Höhere Mathematik für Dummies

Physik ohne Mathematik, das ist unmöglich. Aber wenn Sie Ihre liebe Mühe mit Mathe haben, dann hilft Ihnen dieses Buch, ganz gleich aus welchem Grund Sie sich mit Physik beschäftigen müssen: als Studienanfänger der Physik, als Student der Ingenieurwissenschaften oder der Medizin. Dieses Buch erklärt Ihnen, was Sie über einfache, komplexe und mehrdimensionale Analysis, Differentialgleichungen und Lineare Algebra wissen sollten. Zahlreiche Beispiele machen die Erläuterungen noch anschaulicher.

Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus überzeugt er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies".

Über den Autor 23 Danksagung 23 Einleitung 25 Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen 25 Überall praktische Beispiele 26 Törichte Annahmen über den Leser 26 Konventionen in diesem Buch 27 Wie dieses Buch strukturiert ist 27 Teil I: Eindimensionale Analysis 27 Teil II: Lineare Algebra 28 Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 28 Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 28 Teil V: Der Top-Ten-Teil 29 Die Symbole in diesem Buch 29 Den modularen Aufbau für sich nutzen 29 Teil I Eindimensionale Analysis 31 Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 33 Was Funktionen eigentlich sind 33 Graphische Darstellung von Funktionen 35 Polynome einfach verstehen 36 Bruchrechnung: Rationale Funktionen 39 Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 40 Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 41 Von Umkehr- und Inversen Funktionen 43 Trigonometrische Funktionen 44 Trigonometrische Funktionen zeichnen 45 Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 46 Grenzwerte einer Funktion Verstehen 46 Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 47 Links- und rechtsseitige Grenzwerte 48 Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 48 Unendliche Grenzwerte und Vertikale Asymptoten 49 Grenzwerte für x gegen unendlich 50 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 50 Einfache Grenzwerte auswerten 53 Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 53 Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 54 Methode 1: Faktorisieren 54 Methode 2: Konjugierte Multiplikation 54 Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 55 Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 56 Grenzwerte bei unendlich auswerten 57 Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 58 Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 59 Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 61 Erste Schritte des Ableitens 62 Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 62 Grundlegende Regeln der Differentiation 64 Die Konstantenregel 64 Die Potenzregel 64 Die Koeffizientenregel 65 Die Summenregel - und die kennen Sie schon 65 Trigonometrische Funktionen differenzieren 65 Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 66 Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 67 Die Produktregel 67 Die Quotientenregel 67 Die Kettenregel 68 Implizite Differentiation 71 Logarithmische Differentiation 72 Differentiation von Umkehrfunktionen 73 Keine Angst vor höheren Ableitungen 75 Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 76 Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 76 Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 77 Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 77 Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 78 Achtung - Nicht auf der Spitze stecken bleiben 78 Halten Sie sich fest - nun geht's bergab! 78 Jetzt wird's kritisch an den Punkten! 78 Lokale Extremwerte finden 79 Die kritischen Werte suchen 80 Der Test mit der ersten Ableitung - wachsend oder fallend? 81 Der Test mit der zweiten Ableitung - Krümmungsverhalten! 82 Globale Extremwerte finden 83 Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 85 Die Graphen von Ableitungen - jetzt wird gezeichnet! 87 Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren 90 Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 92 Das nützliche Taylorpolynom 93 Die Regel von l'Hospital 96 Nicht akzeptable Formen in Form bringen 98 Kombinieren der Methoden - nur Geduld! 98 Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 101 Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 101 Folgen aneinanderreihen 102 Konvergenz und Divergenz von Folgen 103 Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital bestimmen 104 Reihen summieren 105 Partialsummen 105 Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 105 Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 107 Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 107 Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 108 Geometrische Reihen 108 Harmonische Reihe 109 Teleskop-Reihen 110 Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 111 Der direkte Vergleich - Minoranten-/Majorantenkriterium 111 Das Grenzwertkriterium 112 Quotienten- und Wurzelkriterium 114 Das Quotientenkriterium 114 Das Wurzel-Kriterium 115 Alternierende Reihen 116 Absolute oder normale Konvergenz - das ist die Frage! 116 Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 117 Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 120 Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 122 Potenzreihen (er)kennen 122 Konvergenzbereich von Potenzreihen 123 Rechnen Sie mit Potenzreihen 124 Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 125 Kapitel 4 Eindimensionale Integration 127 Das bestimmte Integral - Flächen berechnen 127 Stammfunktionen suchen - rückwärts ableiten 129 Flächenfunktionen beschreiben 130 Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 131 Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132 Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken 135 Umkehrregeln für Stammfunktionen 135 Umkehrregeln zum Aufwärmen 135 Die umgekehrte Potenzregel 135 Genial einfach: Raten und Prüfen 136 Die Substitutionsmethode 137 Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 140 Partielle Integration: Teile und Herrsche! 141 Wählen Sie weise! 143 Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 144 Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 145 Integrale mit Sinus und Kosinus 146 Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 146 Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 147 Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 147 Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 148 Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 149 Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 150 Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 151 Bonusrunde - Der Koeffizientenvergleich 152 Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 153 Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale! 153 Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 154 Bogenlängen bestimmen 156 Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 158 Teil II Lineare Algebra 161 Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 163 Vektoren erleben 163 Vektoren veranschaulichen 164 Mit Vektoren anschaulich rechnen 166 Mit Vektoren rechnen 167 Betrag eines Vektors berechnen 170 Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 171 Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 174 Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 176 Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 179 Arten von linearen Gleichungssystemen 180 Homogene Gleichungssysteme 181 Inhomogene Gleichungssysteme 181 Überbestimmte Gleichungssysteme 182 Unterbestimmte Gleichungssysteme 182 Quadratische Gleichungssysteme 183 Nicht lösbare Gleichungssysteme 184 Graphische Lösungsansätze für LGS 184 Kapitel 6 Überleben in der Welt der Matrizen .185 Was Matrizen wirklich sind 185 Addition von Matrizen 186 Skalarmultiplikation von Matrizen 187 Multiplikation von Matrizen 187 Matrizen in Produktionsprozessen 188 Transponierte und symmetrische Matrizen 190 Keine Angst vor inversen Matrizen 191 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 192 Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 192 Der Rang von Matrizen 197 Matrizen invertieren in der Praxis 198 Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 199 Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 200 Matrizen und lineare Abbildungen 200 Lineare Abbildungen an Beispielen 201 Matrizen als lineare Abbildungen 202 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Theorie 202 Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Praxis 203 Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 205 Matrizen und ihre Determinanten 207 Determinanten von 2 × 2 - Matrizen 207 Determinanten von 3 × 3 - Matrizen 207 Determinanten von allgemeinen Matrizen 208 Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 210 Die Cramersche Regel 211 Die Inversen mittels Adjunktenformel berechnen 213 Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 215 Kreuzprodukt von Vektoren 216 Kapitel 7 Das Matrizen-Finale: Hauptachsentransformationen und euklidische Vektorräume 219 Basistransformation 220 Auf den Maßstab kommt es an! 220 Geben Sie mir Ihre Koordinaten! 221 Matrixdarstellung bei unterschiedlichen Basen 223 Basistransformationsmatrizen 225 Überzeugende Diagramme 226 Eigenwerte und Eigenvektoren 228 Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren? 228 Eigenwerte einer Matrix berechnen 228 Eigenvektoren einer Matrix berechnen 230 Eigenräume finden und analysieren 231 Matrizen diagonalisieren 232 Drehungen und Spiegelungen 236 Drehungen in der Ebene 237 Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 239 Spiegelungen in der Ebene 239 Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 241 Drehungen im dreidimensionalen Raum 244 Mit Skalarprodukten messen können 247 Starten mit dem Standard-Skalarprodukt 248 Die allgemeinen Skalarprodukte 250 Die Norm als Längenbegriff verstehen 251 Wichtige Eigenschaften der Norm 251 Alles Senkrecht? - Orthogonalität erwünscht 252 Den Öffnungswinkel zwischen Vektoren (er)kennen 252 Allgemeine euklidische Vektorräume untersuchen 253 Orthogonale Vektoren allgemein beschreiben 254 Orthogonalsysteme und orthogonale Basen 254 Orthonormale Systeme und orthonormale Basen 255 Teil III Komplexe Analysis, Fourieranalysis Und Differentialgleichungen 259 Kapitel 8 Nicht reell aber real - die komplexen Zahlen 261 Was komplexe Zahlen wirklich sind 261 Komplexe Rechenoperationen 263 Die komplexe Addition 263 Die komplexe Multiplikation 263 Die Konjugierte einer komplexen Zahl 264 Die komplexe Division 265 Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 265 Komplexe quadratische Gleichungen 266 Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 267 Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 268 Komplexe Potenzen und Wurzeln 271 Anwendungen komplexer Zahlen 273 Kapitel 9 Funktionentheorie: Komplexe Funktionen 277 Tusch bitte: Holomorphe Funktionen 277 Komplexe versus reelle Differenzierbarkeit 281 Elementare komplexe Funktionen 282 Komplexe Exponentialfunktion 282 Komplexe Logarithmusfunktion 283 Komplexe trigonometrische Funktionen 284 Nicht über isolierte Singularitäten stolpern 284 Noch mehr Reihen: die Laurentreihen 286 (Fast) Keine Angst vor den Residuen 287 Komplexe Kurvenintegrale berechnen 288 Integrale mittels Parametrisierungen lösen 289 Integrale mittels Stammfunktionen lösen 290 Integrale mittels Residuensatz lösen 290 Integrale mittels Cauchyscher Integralformeln lösen 291 Praktische Anwendung der komplexen auf reelle Integrale 292 Kapitel 10 Fourierreihen und -integrale 295 Periodische Funktionen erkennen und erschaffen 295 Der periodische Fall: Fourierreihen 297 Die komplexe Form der Fourierreihe 301 Der nicht-periodische Fall: Fouriertransformation 302 Praktische Berechnung der Fouriertransformierten 304 Anwendung der Fourieranalyse - kurzgefasst 306 Kapitel 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen 309 Einführende Gedanken zu Differentialgleichungen 309 Mit Isoklinen zur Lösung 311 Die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit 314 Einfache Spezialfälle von Differentialgleichungen 315 Der einfachste Fall: y' = f(x) 315 Der Fall: y'= f(x) - g(y) - Trennung der Variablen 315 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317 Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 317 Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 318 Praktische Lösungsmethode: Variation der Konstanten 320 Systeme gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen erster Ordnung 321 Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 322 Inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten 324 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 326 Äquivalenz einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einem System erster Ordnung 327 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung lösen 328 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 328 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 329 Spezielle Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 331 Anwendungen in der Schwingungslehre 332 Teil IV Mehrdimensionale Analysis 335 Kapitel 12 Differentiation von Funktionen mehrerer Variabler 337 Funktionen mehrerer Variabler graphisch darstellen 338 Mit Schnitten und Niveau zum Erfolg 341 Schnitte von Graphen 341 Höhen- und Niveaulinien von Graphen 343 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler 344 Partielle Ableitungen - auch hier ein Kinderspiel 346 Unabhängiges Pärchen: Partielle Ableitungen und Stetigkeit 348 Tangentialebenen als Tangenten-Alternative 349 Volles Programm: Totale Differenzierbarkeit 349 Gewünschte Zugabe: Totales Differential 350 Rechenregeln des Ableitens für Funktionen mehrerer Variabler 351 Implizite Funktionen differenzieren können 353 Höhere Ableitungen: Hilfe durch den Satz von Schwarz 354 Kurvendiskussion für Funktionen mehrerer Variabler 356 Kritische Punkte von Funktionen in höheren Dimensionen 356 Hinreichende Kriterien für Extrema und Sattelpunkte 357 Hinreichende Kriterien für Funktionen in zwei Variablen 359 Extremwerte unter Nebenbedingungen 361 Nebenbedingung mithilfe des Lagrangeschen Ansatzes lösen 361 Nebenbedingung mithilfe des Einsetzverfahrens lösen 364 Kopf an Kopf Rennen - beide Verfahren im direkten Vergleich 365 Kapitel 13 Mehrdimensionale Integration 371 Flächenintegrale - ein Einstieg 371 Das Prinzip des Cavalieri - Volumen der Drehkörper 377 Volumenintegrale - der Aufstieg 379 Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel 381 Volumen eines dreidimensionalen Rotationskörpers 382 Das Volumen des Torus auf zwei Arten berechnen 383 Parametrisierung des Torus 384 Volumen des Torus als Rotationskörper 385 Volumen des Torus mithilfe der zweiten Guldinschen Regel 387 Integrierbare Funktionen mehrerer Variabler - der Gipfel 387 Mit feinster (Quader-)Rasterung zum Ziel kommen 388 Endlich Gebiete erkennen 389 Offene und (weg-)zusammenhängende Mengen 390 Integrale überzeugend definieren und verstehen 391 Substitution durch Transformation 393 Kapitel 14 Vektoranalysis in drei Dimensionen 397 Skalar- und Vektorfelder 397 Keine Angst vor Differentialoperatoren 399 Gradient eines Skalarfeldes 400 Divergenz eines Vektorfeldes 400 Rotation eines Vektorfeldes 402 Rechenregeln für Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace und Nabla 403 Das übersichtliche Nabla-Kalkül 404 Langsam durch Kurven und ihre Integrale 405 Kurven in der Ebene und im Raum 406 Kurven und ihre (Bogen-)Länge 408 Massen, Schwerpunkte und Oberflächen rotierender Kurven 410 Die Oberfläche des Torus auf zwei Arten berechnen 412 Skalare Kurvenintegrale - der Länge nach integrieren 413 Vektorielle Kurvenintegrale - gut für die Zirkulation 414 Wegunabhängigkeit von Gradientenfeldern 415 Integrale über geschlossenen Kurven 415 Integrabilitätsbedingung für Gradientenfelder 416 Oberflächlich durch den Raum 419 Flächen im dreidimensionalen Raum 419 Massen und Schwerpunkte von Flächen im Raum 421 Flächen orientieren - Außenseiten bestimmen 421 Skalare Oberflächenintegrale - Oberflächen berechnen 423 Vektorielle Oberflächenintegrale - im Fluss stehen 423 Den Fluss am Kreiskegel schrittweise berechnen 425 Formeln von Gauß, Stokes, Green und Maxwell 428 Gaußscher Integralsatz - der erste Höhepunkt 428 Stokesscher Integralsatz - der zweite Höhepunkt 429 Greensche Formeln - in Kürze und Würze 432 Maxwellgleichungen - kurz und knapp! 433 Teil V Der Top-Ten-Teil 435 Kapitel 15 Mehr als zehn wichtige Formeln 437 Wichtiger Grenzwert 437 Wichtiger Mittelwertsatz 437 Wichtiger Taylorreihenansatz 438 Wichtiger Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 438 Wichtiger Betrag eines Vektors 438 Wichtiger Dimensionssatz für lineare Abbildungen 438 Wichtiges Orthonormalisierungsverfahren 439 Wichtige komplexe Wurzeln 439 Wichtiger Residuensatz 439 Wichtige Fouriertransformation 439 Wichtige Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 440 Wichtige Hessematrix 440 Wichtige Integrale über Gebieten 440 Wichtige Sätze von Gauß und Stokes 440 Bonusrunde: Wichtige Gleichung 441 Kapitel 16 Zehn interessante Ansätze der Physik 443 Lorentz und die relativen Geschwindigkeiten 443 Dopplers Effekte 445 Keplers Planetengesetze 445 Galileis Fallgesetz 446 Newtons Trägheitsgesetz 446 Maxwell und seine Gleichungen 446 Plancks Wirkung 447 Schrödingers Gleichung 447 Heisenbergsche Unschärfe 448 Einsteins E = mc2 und seine spezielle Theorie zur Relativität 448 Bonusrunde: Einsteins allgemeine Relativitätstheorie 449 Stichwortverzeichnis 451