Computermathematik

Der vorliegenden Band enthält die Lösungen der Aufgaben des in dersel­ ben Reihe Programm Praxis erschienenen Lehrbuches 'Computermathema­ tik'. Die Kapiteleinteilung wurde beibehalten, die Aufgabenstellung wieder­ holt, um dem Leser ein gleichzeitiges Blättern in beiden Büchern zu ersparen. Für die zur Lösung erforderliche Theorie wird auf das Lehrbuch verwiesen. Bei den Lösungen der Aufgaben handelt es sich meistens um Program­ me, die in TURBO PASCAL angegeben sind. Bei Programmierubungen ist es sehr wichtig, dass man nicht nur lernt, selbst Programme zu schreiben, sondern auch, andere zu lesen, um eventuelle Anpassungen vornehmen zu können. Die vorliegenden Programme sollen diesem Zweck dienen. Der Leser sollte seine eigenen Lösungen mit den hier angeführten vergleichen. Bei grösseren Programmen gehen wir meistens in zwei Schritten vor: Zuerst wird ein 'Traktor' und erst anschliessend die 'Luxuslimusine' gebaut. Damit ist gemeint, dass man zuerst ein kurzes, lauffähiges Programm erstellt, das eine korrekte 1mplementation des Algorithmus darstellt, jedoch eventuell nur für Spezialfälle funktioniert. Erst danach wird das Programm für den allge­ meinen Fall erweitert. Als Beispiel sei auf den Algorithmus 4. 7 hingewiesen, mit dem Polynomnullstellen mittels Newtonverfahren und Deflation berech­ net werden. Der Algorithmus funktioniert nur für reelle Arithmetik und ist zwar kurz und übersichtlich, aber im allgemeinen unbrauchbar. Es ist aber nicht schwierig, diesen Algorithmus für komplexe Arithmetik umzuschreiben, wie in Aufgabe 4. 17 verlangt wird. Das neue Programm ist wesentlich länger und wäre ohne den vorher konstruierten 'Traktor' auch schwieriger zu pro­ grammieren. Programme können immer geändert, verbessert und erweitert werden.

1 Rechnen mit Computer.- Aufgaben 1.2-1.4, Endliche Arithmetik.- 2 Elementare Algorithmen.- Aufgabe 2.1 quadratische Gleichung.- Aufgabe 2.2 grösster gemeinsamer Teiler.- Aufgabe 2.3 Kürzen von Brüchen.- Aufgabe 2.4 Bruchoperationen.- Aufgabe 2.5 Primzahlen.- Aufgabe 2.6 Primfaktoren.- Aufgabe 2.7 goniometrische Gleichung.- Aufgabe 2.8 Skalarprodukt.- Aufgabe 2.9 Reihen.- Aufgabe 2.10 Folge.- Aufgabe 2.11 Argumentreduktion beim Sinus.- Aufgabe 2.12 Berechnung der Funktion sin(x).- Aufgabe 2.13 MacLaurinreihe.- Aufgabe 2.14 Reihe für arctan(x).- Aufgabe 2.15 Binomialreihe.- Aufgabe 2.16 Berechnung von ln(x).- Aufgabe 2.17 Eulersche Relation.- Aufgabe 2.18 Operationen mit komplexen Zahlen.- Aufgabe 2.19 komplexe Wurzeln.- Aufgabe 2.20 komplexe quadratische Gleichung.- Aufgabe 2.21 komplexe Quadratwurzel.- Aufgabe 2.22 Matrizenoperationen.- Aufgabe 2.23 komplexe Matrixmultiplikation.- Aufgabe 2.24 Exponentialmatrix.- Aufgabe 2.25 Zwergrätsel.- Aufgabe 2.26 Eulersche Zahl e.- Aufgabe 2.27 Potenzen von 2.- Aufgabe 2.28 Berechnung von n!.- Aufgabe 2.29 Berechnung von ? auf l'OOO Stellen.- Aufgabe 2.30 Quadratwurzeln auf beliebig viele Stellen.- 3 Nichtlineare Gleichungen.- Aufgabe 3.2 Bisektion.- Aufgabe 3.3 Mantissenlänge.- Aufgabe 3.4 nichtlineare Gleichungen.- Aufgabe 3.5 Geissweide.- Aufgabe 3.6 Integral.- Aufgabe 3.7 binärer Suchprozess.- Aufgabe 3.8 Maximum.- Aufgabe 3.9 Iterationsformen.- Aufgabe 3.10 Iterationsfolgen.- Aufgabe 3.11 Kettenbruch.- Aufgabe 3.12 kubische Gleichung.- Aufgabe 3.13 Konvergenzabschätzung.- Aufgabe 3.14 k-Methode.- Aufgabe 3.15 Umkehrfunktion.- Aufgabe 3.16 Integral.- Aufgabe 3.17 Abbruchkriterium.- Aufgabe 3.18 Newtonverfahren.- Aufgabe 3.19 Integral mit Newton und Halley.- Aufgabe 3.20 Dreiecksberechnung.- Aufgabe 3.21 Öltank.-Aufgabe 3.22 Rohraufgabe.- Aufgabe 3.23 Integralgleichung.- Aufgabe 3.24 Polynomgleichung.- Aufgabe 3.25 Quadratwurzeln mit Halleyverfahren.- Aufgaben 3.26 und 3.27 Konvergenz des Newtonverfahrens.- Aufgabe 3.28 Bestimmung von Polen.- Aufgabe 3.29 'geeignete' Startwerte.- Aufgabe 3.30 Euler'sehe Iterationsformel.- 4 Polynome.- Aufgaben 4.1 und 4.2 Hornerschema.- Aufgabe 4.3 Programm für das Hornerschema.- Aufgabe 4.4 Umwandlung von Zahlen in verschiedene Systeme.- Aufgabe 4.5 Zahlenumwandlungen für gebrochene Zahlen.- Aufgabe 4.6 Zahlenumwandlungen rekursiv.- Aufgaben 4.7-4.10 vollständiges Hornerschema.- Aufgabe 4.11 Lage der Nullstellen von Polynomen.- Aufgaben 4.12-4.16 Abspalten von Nullstellen.- Aufgabe 4.17 Newtonverfahren für Polynomnullstellen.- Aufgabe 4.18 Nickelverfahren.- Aufgabe 4.19 Konvergenz des Laguerre-Verfahrens.- Aufgabe 4.20 Verfahren von Laguerre.- Aufgaben 4.21-4.24 Polynomgleichungen.- 5 Lineare Gleichungssysteme.- Aufgabe 5.1 Cramerregel.- Aufgabe 5.2 Gaussalgorithmus in integer-Arithmetik.- Aufgabe 5.3 komplexe Gleichungssysteme.- Aufgabe 5.4 Eliminationsmatrizen.- Aufgabe 5.5 Dreiecksmatrizen.- Aufgabe 5.6 singulare Gleichungssysteme.- Aufgabe 5.7 Gauss'sehe Dreieckszerlegung.- Aufgabe 5.8 Berechnung von Determinanten.- Aufgabe 5.9 Orthogonale Matrizen.- Aufgabe 5.10 QR-Zerlegung.- Aufgabe 5.11 lineare Abbildungen.- Aufgabe 5.12 Methode der kleinsten Quadrate.- Aufgabe 5.13 Givensmethode für Taschenrechner.- Aufgaben 5.14-5.19 lineare Ausgleichsprobleme.- 6 Interpolation.- Aufgabe 6.1 Interpolationsfehler.- Aufgabe 6.2 Programm für Lagrageinterpolation.- Aufgaben 6.3 und 6.4 Interpolation mit Lagrange und Aitken-Nevillel.- Aufgabe 6.5 Nullstellenberechnung mit Interpolation.- Aufgabe 6.6 Inverse Interpolation.- Aufgabe 6.7Ableitung durch Extrapolation.- Aufgabe 6.8 Berechnung von ? durch Extrapolation.- Aufgabe 6.9 Euler'sche Konstante c.- Aufgabe 6.10 Unendliche Reihen.- Aufgabe 6.11 Unendliches Produkt.- Aufgaben 6.12-6.15 Spline Interpolation.- Aufgabe 6.16 Spline Integration.- Aufgabe 6.17 Programm für defekte Splinefunktionen.- Aufgaben 6.18 und 6.19 Gleichungssysteme für Ableitungen.- Aufgabe 6.20 Elementare Matrix.- Aufgabe 6.21 tridiagonale lineare Gleichungssysteme.- Aufgaben 6.22 und 6.23 Rang 1 Modifikation.- Aufgabe 6.24 Gauss-Dreieckszerlegung für Tridiagonalmatrizen..- Aufgabe 6.25 Programm für echte Splinefunktionen.- Aufgabe 6.26 Programm für Splinekurven.- 7 Numerische Integration.- Integrationsprogramm integral.- Aufgaben 7.1 und 7.2 Trapezregel.- Aufgabe 7.3 Trapezregel für periodische Funktionen.- Aufgabe 7.4 Beweis der Fehlerabschätzung für die Simpsonregel..- Aufgaben 7.5 und 7.6 Fehlerabschätzimg für die Simpsonregel...- Aufgabe 7.7 elliptisches Integral.- Aufgabe 7.8 Zusammenhang Romberg-Simpson.- Aufgaben 7.9 und 7.10 Romberg-Integration.- Aufgaben 7.11-13 Adaptive Quadratur.- Aufgabe 7.14 Integralgleichung.- Aufgabe 7.15 uneigentliche Integrale.- Aufgaben 7.16-19 Transformation auf Dgl.-Systeme 1. Ordnung..- Aufgaben 7.20 und 7.21 Methoden von Euler und Heun.- Aufgabe 7.22 Programm für Integration nach Heun.- Aufgabe 7.23 Fehlerordnung.- Aufgabe 7.24 Beweis der Fehlerordnung von Heun.- Aufgabe 7.25 Quadraturformeln.- Aufgabe 7.26 Lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten.- Aufgabe 7.27 Programm für Runge-Kutta.- Aufgabe 7.28 Pendelgleichung.- Aufgabe 7.29 Programm für das Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren.- 8 Hinweise zur Programmierung.- Plotprozeduren zum Zeichnen von Funktionen.- Aufgabe 8.1 algorithmische Differentiation.- Aufgabe 8.2Hornerschema.- Aufgabe 8.3 Eigenwertproblem.- Programmindex.- Anhang: Errata im Lehrbuch.