Termersetzungssysteme

Das vorliegende Buch ist aus mehreren Vorlesungen hervorgegangen, die ich an der Fakultät für Informatik der Universität Tübingen gehalten habe. Diese Vorlesungen richteten sich an Studenten, die Informatik im Haupt- oder Nebenfach studierten. Neben Informatikern könnte dieses Buch aber auch für alle, die sich mit formalen Systemen beschäftigen, wertvoll sein, insbesondere Mathematiker, Logiker und Sprachwissenschaftler. Das Buch ist eine Einführung in das Gebiet der Termersetzungssysteme. Dennoch setzt es ei­ nige fundamentale Grundlagen der Informatik voraus. Diese Grundkenntnisse umfassen die Grundlagen des Programmierens, ein intuitives Verständnis der Prädikatenlogik und gewisse theoretische Grundlagen (Berechenbarkeit und formale Sprachen), so wie es im allgemeinen bis zum Informatikvordiplom (sowohl im Haupt- als auch im Nebenfach) vermittelt wird. Auch wenn dieses Buch zunächst als Einführung in die Termersetzungssysteme gedacht ist, so soll es die Leser letztlich in die Lage versetzen, selbständig aktuelle Forschungspublika­ tionen zu studieren. Systeme! zu spezifizieren ist eine wichtige Aufgabe in allen Bereichen der Informatik. Die Spezifikation gehört zur Entwurfsphase jedes Projektes und dient als (Vertrags-)Grundlage für seine Realisierung (Implementierung), ebenso zur Dokumentation, und sie ist äußerst wichtig bei der Wartung eines fertigen Systems. Formale, d. h. mathematisch exakte Spezifi­ kationen haben den unbestreitbaren Vorteil, daß sie keinerlei Interpretationsspielraum lassen und somit unzweideutig festlegen, was ein System wirklich leisten soll. Leider sind forma­ 2 le Spezifikationen für Ungeübte sowohl schwierig zu erstellen als auch zu lesen. Deshalb fehlt oft die Motivation, eine formale Spezifikation zu erstellen.

PD Dr. Reinhard Bündgen ist Mitarbeiter bei der IBM Deutschland Entwicklung GmbH und Privatdozent an der Fakultät für Informatik der Universität Tübingen.

1 Einleitung.- 1.1 Rechnen mit Regeln.- 1.2 Termersetzungssysteme.- 1.3 Überblick über das Buch.- 2 Terme und Signaturen.- 2.1 Wohlgeformte Terme.- 2.2 Teilterme.- 2.3 Substitutionen.- 2.4 Datenstrukturen für Terme.- 2.5 Aufgaben.- 3 Termvergleiche.- 3.1 Termgleichheit.- 3.2 Termverallgemeinerung und Spezialisierung.- 3.3 Darstellung von Termen in ReDuX.- 3.4 Aufgaben.- 4 Termersetzungssysteme.- 4.1 Regeln und Gleichungen.- 4.2 Algebraische Spezifikationen.- 4.3 Die Implementierung von Reduktionen in ReDuX.- 4.4 Literaturhinweise.- 4.5 Aufgaben.- 5 Ordnungsrelationen und Induktion.- 5.1 Wohlfundierte Ordnungen.- 5.2 Wohlfundierte Induktion.- 5.3 Zusammengesetzte Ordnungen.- 5.4 Quasiordnungen.- 5.5 Aufgaben.- 6 Abstrakte Reduktionsrelationen.- 6.1 Reduktions-und Gleichheitsrelationen.- 6.2 Eigenschaften von Reduktionsrelationen.- 6.3 Kriterien für Konfluenz.- 6.4 Literaturhinweise.- 6.5 Aufgaben.- 7 Termination.- 7.1 Unentscheidbarkeit der Terminationseigenschaft.- 7.2 Termordnungen.- 7.3 Simplifikationsordnungen.- 7.4 Implementierbare Termordnungen.- 7.5 Literaturhinweise.- 7.6 Aufgaben.- 8 Unifikation.- 8.1 Das Lösen von Termgleichungen.- 8.2 Ein Unifikationskalkül.- 8.3 Komplexität des Unifikationsproblems.- 8.4 Literaturhinweise.- 8.5 Aufgaben.- 9 Kritische Gipfel.- 9.1 Vollständige Termersetzungssysteme.- 9.2 Der Satz von Knuth und Bendix.- 9.3 Aufgaben.- 10 Knuth-Bendix-Vervollständigung.- 10.1 Abstrakte Vervollständigung.- 10.2 Die Vervollständigungsprozedur.- 10.3 Beweistransformation.- 10.4 Konfluenzkriterien.- 10.5 Eine Anwendung: die Lösung von Wortproblemen.- 10.6 Literaturhinweise.- 10.7 Aufgaben.- 11 Induktive Vervollständigung.- 11.1 Gleichungs- vs. Induktionsbeweise.- 11.2 Grundtermmodelle.- 11.3 Konsistenzbeweise.- 11.4 InduktionsloseInduktion.- 11.5 Grundkonfluenzkriterien.- 11.6 Literaturhinweise.- 11.7 Aufgaben.- 12 Assoziativität und Kommutativität.- 12.1 Termvergleiche modulo einer Theorie.- 12.2 AC-Unifikation.- 12.3 T-kompatible Reduktionen.- 12.4 Termination modulo einer Theorie.- 12.5 Die Peterson-und-Stickel-Vervollständigung.- 12.6 AC-vollständige Termersetzungssysteme.- 12.7 Anwendungen von AC-Termersetzung.- 12.8 Literaturhinweise.- 12.9 Aufgaben.- 13 Schlußbemerkungen.- A Anhang: Termersetzungssoftware.- Symbolverzeichnis.