Termersetzungssysteme

Termersetzungssysteme sind ein mächtiges Werkzeug mit Einsatzmöglichkeiten in vielen Bereichen der Informatik wie z. B. automatisches Beweisen, algebraische Spezifikationen, funktionales Programmieren, Computeralgebra und Verifikation von Soft- und Hardware. Im Mittelpunkt des Buches, das sich vor allem an Informatiker und Mathematiker richtet, steht die universelle Datenstruktur Term. Mit Termen, Termgleichungen und Termregeln lassen sich sehr elegant Sachverhalte aus den unterschiedlichsten Anwendungsgebieten spezifizieren, berechnen und beweisen. So werden in diesem Buch insbesondere verschiedene Verfahren zum maschinellen Beweisen von Gleichungen entwickelt: Unifikation, Knuth-Bendix-Vervollständigung und automatische Induktionsbeweiser. Ein wichtiges Paradigma, das sich durch alle Ebenen des Buches zieht, ist das regelbasierte Rechnen. Es begegnet uns sowohl bei der Darstellung der Algorithmen als auch bei der Anwendung von Termersetzungssystemen. Neben der Vermittlung der theoretischen Grundlagen der vorgestellten Verfahren wird auch gezielt auf Methoden zu deren Implementierung und Möglichkeiten zu deren Anwendung eingegangen.

PD Dr. Reinhard Bündgen ist Mitarbeiter bei der IBM Deutschland Entwicklung GmbH und Privatdozent an der Fakultät für Informatik der Universität Tübingen.

1 Einleitung.- 1.1 Rechnen mit Regeln.- 1.2 Termersetzungssysteme.- 1.3 Überblick über das Buch.- 2 Terme und Signaturen.- 2.1 Wohlgeformte Terme.- 2.2 Teilterme.- 2.3 Substitutionen.- 2.4 Datenstrukturen für Terme.- 2.5 Aufgaben.- 3 Termvergleiche.- 3.1 Termgleichheit.- 3.2 Termverallgemeinerung und Spezialisierung.- 3.3 Darstellung von Termen in ReDuX.- 3.4 Aufgaben.- 4 Termersetzungssysteme.- 4.1 Regeln und Gleichungen.- 4.2 Algebraische Spezifikationen.- 4.3 Die Implementierung von Reduktionen in ReDuX.- 4.4 Literaturhinweise.- 4.5 Aufgaben.- 5 Ordnungsrelationen und Induktion.- 5.1 Wohlfundierte Ordnungen.- 5.2 Wohlfundierte Induktion.- 5.3 Zusammengesetzte Ordnungen.- 5.4 Quasiordnungen.- 5.5 Aufgaben.- 6 Abstrakte Reduktionsrelationen.- 6.1 Reduktions-und Gleichheitsrelationen.- 6.2 Eigenschaften von Reduktionsrelationen.- 6.3 Kriterien für Konfluenz.- 6.4 Literaturhinweise.- 6.5 Aufgaben.- 7 Termination.- 7.1 Unentscheidbarkeit der Terminationseigenschaft.- 7.2 Termordnungen.- 7.3 Simplifikationsordnungen.- 7.4 Implementierbare Termordnungen.- 7.5 Literaturhinweise.- 7.6 Aufgaben.- 8 Unifikation.- 8.1 Das Lösen von Termgleichungen.- 8.2 Ein Unifikationskalkül.- 8.3 Komplexität des Unifikationsproblems.- 8.4 Literaturhinweise.- 8.5 Aufgaben.- 9 Kritische Gipfel.- 9.1 Vollständige Termersetzungssysteme.- 9.2 Der Satz von Knuth und Bendix.- 9.3 Aufgaben.- 10 Knuth-Bendix-Vervollständigung.- 10.1 Abstrakte Vervollständigung.- 10.2 Die Vervollständigungsprozedur.- 10.3 Beweistransformation.- 10.4 Konfluenzkriterien.- 10.5 Eine Anwendung: die Lösung von Wortproblemen.- 10.6 Literaturhinweise.- 10.7 Aufgaben.- 11 Induktive Vervollständigung.- 11.1 Gleichungs- vs. Induktionsbeweise.- 11.2 Grundtermmodelle.- 11.3 Konsistenzbeweise.- 11.4 InduktionsloseInduktion.- 11.5 Grundkonfluenzkriterien.- 11.6 Literaturhinweise.- 11.7 Aufgaben.- 12 Assoziativität und Kommutativität.- 12.1 Termvergleiche modulo einer Theorie.- 12.2 AC-Unifikation.- 12.3 T-kompatible Reduktionen.- 12.4 Termination modulo einer Theorie.- 12.5 Die Peterson-und-Stickel-Vervollständigung.- 12.6 AC-vollständige Termersetzungssysteme.- 12.7 Anwendungen von AC-Termersetzung.- 12.8 Literaturhinweise.- 12.9 Aufgaben.- 13 Schlußbemerkungen.- A Anhang: Termersetzungssoftware.- Symbolverzeichnis.